Paradoksy można znaleźć wszędzie, od ekologii po geometrię i od logiki po chemię. Nawet komputer, na którym czytasz artykuł, jest pełen paradoksów. Oto dziesięć wyjaśnień niektórych dość fascynujących paradoksów. Niektóre z nich są tak dziwne, że po prostu nie możemy w pełni zrozumieć, o co chodzi.
1. Paradoks Banacha-Tarskiego
Wyobraź sobie, że trzymasz w rękach piłkę. Teraz wyobraź sobie, że zacząłeś rozrywać tę piłkę na kawałki, a kawałki mogą mieć dowolny kształt. Następnie ułóż kawałki razem, aby otrzymać dwie kule zamiast jednej. Jak duże będą te piłki w porównaniu z oryginalną piłką?
Zgodnie z teorią mnogości, dwie otrzymane kule będą miały taki sam rozmiar i kształt jak oryginalna kula. Ponadto, jeśli weźmiemy pod uwagę, że kulki mają w tym przypadku różne objętości, to jedną z kul można przekształcić zgodnie z drugą. To pozwala nam wnioskować, że groszek można podzielić na kulki wielkości Słońca.
Sztuczka paradoksu polega na tym, że można rozbić kulki na kawałki o dowolnym kształcie. W praktyce nie da się tego zrobić - budowa materiału i docelowo wielkość atomów narzuca pewne ograniczenia.
Aby naprawdę możliwe było rozbicie piłki tak, jak lubisz, musi zawierać nieskończoną liczbę dostępnych punktów zerowymiarowych. Wtedy kula takich punktów będzie nieskończenie gęsta, a kiedy ją złamiesz, kształty kawałków mogą okazać się na tyle złożone, że nie będą miały określonej objętości. Możesz zebrać te kawałki, z których każdy zawiera nieskończoną liczbę punktów, w nową kulkę o dowolnym rozmiarze. Nowa kula nadal będzie złożona z nieskończonych punktów, a obie kule będą tak samo nieskończenie gęste.
Film promocyjny:
Jeśli spróbujesz wprowadzić ten pomysł w życie, nic nie zadziała. Ale wszystko działa świetnie podczas pracy ze sferami matematycznymi - nieskończenie podzielne zbiory liczb w trójwymiarowej przestrzeni. Rozwiązany paradoks nazywa się twierdzeniem Banacha-Tarskiego i odgrywa ogromną rolę w matematycznej teorii mnogości.
2. Paradoks Peto
Oczywiście wieloryby są znacznie większe od nas, co oznacza, że mają o wiele więcej komórek w swoich ciałach. Teoretycznie każda komórka ciała może stać się złośliwa. Dlatego wieloryby są znacznie bardziej narażone na raka niż ludzie, prawda?
Nie w ten sposób. Peto Paradox, nazwany na cześć profesora Richarda Peto z Oxfordu, dowodzi, że nie ma korelacji między rozmiarem zwierzęcia a rakiem. Ludzie i wieloryby mają podobne ryzyko zachorowania na raka, ale niektóre rasy małych myszy są znacznie bardziej prawdopodobne.
Niektórzy biolodzy uważają, że brak korelacji w paradoksie Peto można wytłumaczyć faktem, że większe zwierzęta lepiej opierają się nowotworom: mechanizm działa w taki sposób, że zapobiega mutacjom komórkowym podczas procesu podziału.
3. Problem współczesności
Aby coś fizycznie istniało, musi być obecne w naszym świecie przez jakiś czas. Nie może istnieć obiekt bez długości, szerokości i wysokości, nie może też istnieć obiekt bez „czasu trwania” - obiekt „natychmiastowy”, to znaczy taki, który nie istnieje przynajmniej przez pewien czas, w ogóle nie istnieje.
Zgodnie z uniwersalnym nihilizmem przeszłość i przyszłość nie zajmują czasu w teraźniejszości. Ponadto niemożliwe jest ilościowe określenie czasu trwania, który nazywamy „czasem teraźniejszym”: każdy okres, który nazywacie „czasem obecnym”, można podzielić na części - przeszłość, teraźniejszość i przyszłość.
Jeśli teraźniejszość trwa, powiedzmy, sekundę, to tę drugą można podzielić na trzy części: pierwsza część będzie przeszłością, druga - teraźniejszością, trzecia - przyszłością. Trzecią część sekundy, którą teraz nazywamy teraźniejszością, można również podzielić na trzy części. Prawdopodobnie już masz pomysł - możesz tak dalej bez końca.
Zatem teraźniejszość tak naprawdę nie istnieje, ponieważ nie trwa w czasie. Uniwersalny nihilizm używa tego argumentu, aby udowodnić, że nic nie istnieje.
4. Paradoks Moraveca
Podczas rozwiązywania problemów, które wymagają przemyślanego rozumowania, ludzie mają trudności. Z drugiej strony podstawowe funkcje motoryczne i sensoryczne, takie jak chodzenie, nie są wcale trudne.
Ale jeśli mówimy o komputerach, jest odwrotnie: komputerom bardzo łatwo jest rozwiązać najbardziej złożone problemy logiczne, takie jak opracowanie strategii szachowej, ale znacznie trudniej jest zaprogramować komputer tak, aby mógł chodzić lub odtwarzać ludzką mowę. To rozróżnienie między inteligencją naturalną a sztuczną jest znane jako paradoks Moraveca.
Hans Moravek, badacz z Wydziału Robotyki na Carnegie Mellon University, wyjaśnia tę obserwację poprzez koncepcję inżynierii wstecznej naszych własnych mózgów. Inżynieria odwrotna jest najtrudniejsza w przypadku zadań, które ludzie wykonują nieświadomie, takich jak funkcje motoryczne.
Ponieważ abstrakcyjne myślenie stało się częścią ludzkiego zachowania mniej niż 100 000 lat temu, nasza zdolność do rozwiązywania abstrakcyjnych problemów jest świadoma. W ten sposób znacznie łatwiej jest nam stworzyć technologię naśladującą takie zachowanie. Z drugiej strony nie rozumiemy takich działań, jak chodzenie czy rozmowa, więc trudniej jest nam zmusić do tego sztuczną inteligencję.
5. Prawo Benforda
Jaka jest szansa, że losowa liczba rozpocznie się od „1”? Albo z cyfry „3”? Lub z „7”? Jeśli jesteś trochę zaznajomiony z teorią prawdopodobieństwa, możesz założyć, że prawdopodobieństwo wynosi jeden do dziewięciu, czyli około 11%.
Jeśli spojrzysz na liczby rzeczywiste, zauważysz, że „9” występuje znacznie rzadziej niż w 11% przypadków. Jest też znacznie mniej cyfr niż oczekiwano, zaczynając od „8”, ale aż 30% liczb zaczynających się od cyfry „1”. Ten paradoksalny obraz przejawia się we wszelkiego rodzaju rzeczywistych przypadkach, od wielkości populacji po ceny akcji i długości rzek.
Fizyk Frank Benford po raz pierwszy zauważył to zjawisko w 1938 roku. Odkrył, że częstotliwość występowania cyfry jako pierwszej spada wraz ze wzrostem cyfry od jednego do dziewięciu. Oznacza to, że „1” pojawia się jako pierwsza cyfra w około 30,1% przypadków, „2” pojawia się w około 17,6% przypadków, „3” pojawia się w około 12,5% i tak dalej, aż „9” pojawi się w jako pierwsza cyfra tylko w 4,6% przypadków.
Aby to zrozumieć, wyobraź sobie, że numerujesz losy loterii sekwencyjnie. Jeśli ponumerujesz bilety od jednego do dziewięciu, istnieje 11,1% szansa, że jakakolwiek liczba będzie pierwsza. Gdy dodasz bilet nr 10, szansa na losową liczbę zaczynającą się od „1” wzrasta do 18,2%. Dodajesz bilety od 11 do 19, a szansa, że liczba biletów zaczyna się od „1” nadal rośnie, osiągając maksymalnie 58%. Teraz dodajesz numer 20 i kontynuujesz numerowanie biletów. Szansa, że liczba zacznie się od „2” rośnie, a szansa, że zaczyna się od „1”, powoli maleje.
Prawo Benforda nie ma zastosowania do wszystkich rozkładów liczb. Na przykład zestawy liczb, których zakres jest ograniczony (wzrost lub waga człowieka), nie podlegają prawu. Nie działa również w przypadku zestawów składających się tylko z jednego lub dwóch zamówień.
Jednak prawo obejmuje wiele rodzajów danych. W rezultacie władze mogą wykorzystać prawo do wykrywania oszustw: jeśli podane informacje nie są zgodne z prawem Benforda, władze mogą stwierdzić, że ktoś sfabrykował dane.
6. C-paradoks
Geny zawierają wszystkie informacje potrzebne do stworzenia organizmu i przetrwania. Jest rzeczą oczywistą, że złożone organizmy muszą mieć najbardziej złożone genomy, ale to nieprawda.
Jednokomórkowe ameby mają genomy 100 razy większe niż ludzie, w rzeczywistości mają jedne z największych znanych genomów. A u gatunków bardzo do siebie podobnych genom może być radykalnie inny. Ta osobliwość jest znana jako paradoks C.
Ciekawym wnioskiem z paradoksu C jest to, że genom może być większy niż to konieczne. Gdyby wykorzystać wszystkie genomy ludzkiego DNA, liczba mutacji na pokolenie byłaby niewiarygodnie wysoka.
Genomy wielu złożonych zwierząt, takich jak ludzie i naczelne, zawierają DNA, które nic nie koduje. Ta ogromna ilość nieużywanego DNA, które różni się znacznie w zależności od istoty, wydaje się być niezależna od wszystkiego, co tworzy paradoks C.
7. Nieśmiertelna mrówka na linie
Wyobraź sobie mrówkę pełzającą po gumowej linie o długości jednego metra z prędkością jednego centymetra na sekundę. Wyobraź sobie również, że lina rozciąga się na kilometr co sekundę. Czy mrówka kiedykolwiek dotrze do końca?
Wydaje się logiczne, że zwykła mrówka nie jest do tego zdolna, ponieważ prędkość jej ruchu jest znacznie mniejsza niż prędkość, z jaką rozciąga się lina. Jednak mrówka w końcu dotrze na drugi koniec.
Zanim mrówka ruszyła, 100% liny leży przed nią. Sekundę później lina stała się znacznie większa, ale mrówka również pokonała pewien dystans i jeśli policzyć w procentach, odległość, którą musi pokonać, zmniejszyła się - jest już mniej niż 100%, choć niewiele.
Chociaż lina jest stale rozciągnięta, niewielki dystans pokonywany przez mrówkę również się zwiększa. Podczas gdy cała lina wydłuża się w stałym tempie, droga mrówki jest nieco krótsza z każdą sekundą. Mrówka cały czas porusza się do przodu ze stałą prędkością. W ten sposób z każdą sekundą odległość, którą już pokonał, rośnie, a odległość, którą musi pokonać, maleje. Oczywiście w procentach.
Jest jeden warunek, aby problem miał rozwiązanie: mrówka musi być nieśmiertelna. Tak więc mrówka dotrze do końca w 2,8 × 1043,429 sekundy, czyli nieco dłużej niż istnieje wszechświat.
8. Paradoks równowagi ekologicznej
Model drapieżnik-ofiara jest równaniem opisującym rzeczywistą sytuację ekologiczną. Na przykład model może określić, o ile zmieni się liczba lisów i królików w lesie. Powiedzmy, że trawa, którą jedzą króliki, rośnie w lesie. Można przypuszczać, że taki wynik jest korzystny dla królików, ponieważ przy obfitości trawy będą się one dobrze rozmnażać i zwiększać swoją liczebność.
Paradoks równowagi ekologicznej mówi, że tak nie jest: początkowo liczba królików faktycznie wzrośnie, ale wzrost populacji królików w środowisku zamkniętym (las) doprowadzi do wzrostu populacji lisów. Wtedy liczba drapieżników wzrośnie tak bardzo, że najpierw zniszczą one całą zdobycz, a potem same wymrą.
W praktyce ten paradoks nie działa w przypadku większości gatunków zwierząt - choćby dlatego, że nie żyją one w środowisku zamkniętym, a więc populacje zwierząt są stabilne. Ponadto zwierzęta są w stanie ewoluować: na przykład w nowych warunkach ofiara będzie miała nowe mechanizmy obronne.
9. Paradoks traszki
Zbierz grupę przyjaciół i razem obejrzyjcie ten film. Po zakończeniu niech każdy wyrazi swoją opinię, czy dźwięk rośnie, czy maleje podczas wszystkich czterech tonów. Będziesz zaskoczony, jak różne będą odpowiedzi.
Aby zrozumieć ten paradoks, musisz wiedzieć co nieco o nutach. Każda nuta ma określoną wysokość, od której zależy, czy usłyszymy dźwięk wysoki czy niski. Nuta następnej wyższej oktawy brzmi dwa razy wyżej niż nuta poprzedniej oktawy. A każdą oktawę można podzielić na dwa równe interwały trytonowe.
Na filmie traszka oddziela każdą parę dźwięków. W każdej parze jeden dźwięk to mieszanka tych samych dźwięków z różnych oktaw - na przykład połączenie dwóch dźwięków C, z których jeden brzmi wyżej niż drugi. Kiedy dźwięk w trytonie przechodzi z jednej nuty do drugiej (na przykład gis między dwoma C), jest całkowicie rozsądne zinterpretować nutę jako wyższą lub niższą od poprzedniej.
Kolejną paradoksalną właściwością traszek jest wrażenie, że dźwięk jest coraz niższy, chociaż wysokość dźwięku się nie zmienia. W naszym filmie możesz oglądać efekt nawet przez dziesięć minut.
10. Efekt Mpemby
Przed tobą dwie szklanki wody, dokładnie to samo we wszystkim oprócz jednej: temperatura wody w lewej szklance jest wyższa niż w prawej. Umieść obie szklanki w zamrażarce. W której szklance woda szybciej zamarznie? Możesz zdecydować, że po prawej stronie, w której woda była początkowo zimniejsza, ale ciepła woda zamarznie szybciej niż woda o temperaturze pokojowej.
Ten dziwny efekt został nazwany na cześć studenta z Tanzanii, który zaobserwował go w 1986 roku, kiedy zamroził mleko, aby zrobić lody. Niektórzy z największych myślicieli - Arystoteles, Francis Bacon i René Descartes - zauważyli to zjawisko wcześniej, ale nie byli w stanie go wyjaśnić. Na przykład Arystoteles postawił hipotezę, że jakość poprawia się w środowisku przeciwnym do tej jakości.
Efekt Mpemby możliwy jest z kilku powodów. W szklance gorącej wody może być mniej wody, ponieważ część z niej wyparuje, w wyniku czego mniej wody powinno zamarznąć. Ponadto ciepła woda zawiera mniej gazu, co oznacza, że w takiej wodzie łatwiej będzie przebiegać konwekcja, a tym samym łatwiej będzie jej zamarznąć.
Inna teoria głosi, że wiązania chemiczne, które utrzymują razem cząsteczki wody, są osłabione. Cząsteczka wody składa się z dwóch atomów wodoru związanych z jednym atomem tlenu. Gdy woda się nagrzewa, cząsteczki nieco się od siebie oddalają, więź między nimi słabnie, a cząsteczki tracą trochę energii - dzięki temu gorąca woda ostygnie szybciej niż zimna.