Niezależnie od tego, czy planujesz sprawdzić, jak szybko możesz napełnić ekspres do kawy, czy po prostu licząc kroki do przystanku autobusowego rano, jest coś w monotonii codziennego życia, co sprawia, że próbujemy przekształcić go w grę. Mieszkańcy pruskiego miasta Królewca z XVIII wieku (teraz, jak wiecie, to Kaliningrad) byli tacy sami jak my wszyscy. To właśnie gra, w którą grali z siedmioma mostami w swoim mieście, wzbudziła pewnego dnia zainteresowanie jednego z największych matematyków w historii ludzkości.
Królewca został zbudowany nad brzegiem rzeki Pregoła (Pregoła), która podzieliła miasto na cztery oddzielne obszary mieszkalne. Ludzie przemieszczali się z jednego obszaru do drugiego przez siedem różnych mostów. Według legendy popularną rozrywką podczas niedzielnych spacerów była próba pokonania całego miasta tak, aby jeden most przejść przez most. Nikt nie wymyślił, jak to zrobić, ale to nie znaczy, że problem nie ma rozwiązania. Po prostu musieli udać się do odpowiedniego eksperta, aby go poznać.
W 1735 r. Burmistrz Gdańska (obecnie Polski Gdańsk), położonego 120 kilometrów na zachód od Królewca, Karl Leonard Gottlieb Ehler, napisał do Leonarda Eulera list, w którym poprosił o pomoc w rozwiązaniu tego problemu w imieniu miejscowego profesora matematyki im. Heinricha. Kuehn. Już wtedy Euler był znanym i odnoszącym duże sukcesy matematykiem - swoją pierwszą książkę opublikował rok po tym liście, aw całym swoim życiu napisał ponad 500 książek i artykułów.
Nic więc dziwnego, że Euler początkowo uważał, że uporanie się z tym problemem jest poniżej jego godności i napisał w odpowiedzi: prośba do matematyka, a nie do kogoś innego, ponieważ decyzja opiera się wyłącznie na zdrowym rozsądku i nie zależy od żadnej ze znanych zasad matematycznych."
Ostatecznie jednak Ehlerowi i Kühnowi udało się przekonać Eulera i zdał sobie sprawę, że jest to zupełnie nowy rodzaj matematyki - „geometria położeń”, dziś znana jako topologia. W topologii dokładny kształt lub położenie obiektu nie ma znaczenia. Istnieje nawet stary żart, że topolog nie może odróżnić pączka od filiżanki kawy, ponieważ oba przedmioty mają dokładnie jedną dziurę. Do tej pory tylko o tej zupełnie nowej dziedzinie matematyki pisano, ale nikt jeszcze nie rozumiał, jakie problemy może ona rozwiązać. Siedem mostów Królewca było doskonałym doświadczalnym potwierdzeniem nowej teorii, ponieważ problem nie wymagał żadnych pomiarów ani precyzyjnych obliczeń. Możesz przekształcić złożoną mapę miasta w prosty i zrozumiały wykres (diagram) bez utraty ważnych informacji.
Chociaż można pokusić się o rozwiązanie tego problemu przez wytyczenie wszystkich możliwych tras przez miasto, Euler natychmiast zdał sobie sprawę, że ta strategia zajmie zbyt dużo czasu i nie będzie działać w przypadku innych podobnych problemów (co by było, gdyby mosty?). Zamiast tego zdecydował się na chwilę odpocząć od mostów i oznaczył ląd literami A, B, C i D. W ten sposób mógł teraz opisać podróż przez most z obszaru A do obszaru B jako AB, a podróż z obszaru A przez obszar B. D jak ABD. Należy tutaj zauważyć, że liczba liter w opisie trasy będzie zawsze o jeden większa niż liczba przejechanych mostów. Tak więc trasa AB przecina jeden most, trasa ABD przecina dwa mosty i tak dalej. Euler zdał sobie sprawę, że skoro w Królewcu jest siedem mostów, aby je wszystkie przekroczyć,trasa musi składać się z ośmiu liter, co oznacza, że rozwiązanie problemu będzie wymagało dokładnie ośmiu liter.
Potem wymyślił bardziej ogólną zasadę, używając jeszcze bardziej uproszczonego schematu. Gdybyś miał tylko dwa odcinki lądowe, A i B, i raz przekroczył most, wtedy odcinek A mógłby być miejscem, w którym podróż się zaczęła lub kończyła, ale na odcinku A byłbyś tylko raz. Jeśli raz przekroczyłeś mosty a, b i c, znalazłeś się na odcinku A dokładnie dwa razy. Doprowadziło to do przydatnej zasady: jeśli masz parzystą liczbę mostów prowadzących do jednego kawałka ziemi, musisz dodać jeden do tej liczby, a następnie podzielić całość przez dwa, aby dowiedzieć się, ile razy ten odcinek powinien być używany podczas podróży. (w tym przykładzie dodając jeden do liczby mostów, czyli do 3, otrzymujemy cztery, a dzieląc cztery na dwa otrzymujemy dwa,to znaczy, że odcinek A) zostaje przekroczony dokładnie dwukrotnie podczas podróży.
Film promocyjny:
Ten wynik przywiódł Eulera z powrotem do jego pierwotnego problemu. Do Sekcji A prowadzi pięć mostów, więc ośmioliterowe rozwiązanie, którego szuka, będzie musiało przejść trzy razy. Odcinki B, C i D mają dwa mosty, które do nich prowadzą, więc każdy musi przejść dwukrotnie. Ale 3 + 2 + 2 + 2 to 9, a nie 8, chociaż zgodnie z warunkiem musisz przejść tylko 8 sekcji i przejść przez 7 mostów. Oznacza to, że nie można przejść przez całe miasto Królewca, korzystając z każdego mostu dokładnie raz. Innymi słowy, w tym przypadku problem nie ma rozwiązania.
Jednak, jak każdy prawdziwy matematyk, Euler na tym nie poprzestał. Kontynuował pracę i stworzył bardziej ogólną zasadę dla innych miast z inną liczbą mostów. Jeśli miasto ma nieparzystą liczbę mostów, to istnieje prosty sposób, aby dowiedzieć się, czy możesz odbyć taką wycieczkę, czy nie: jeśli suma wystąpień każdej litery oznaczającej kawałek ziemi jest o jeden większa niż liczba mostów (jak na przykład w rozwiązaniu ośmioliterowym, około wspomniana wcześniej), taka podróż jest możliwa. Jeśli suma jest większa niż ta liczba, jest to niemożliwe.
A co z parzystą liczbą mostów? W tym przypadku wszystko zależy od tego, od czego zacząć. Jeśli zaczniesz od Odcinka A i przejedziesz przez dwa mosty, w Twoim rozwiązaniu pojawi się dwukrotnie. Jeśli zaczniesz po drugiej stronie, A pojawi się tylko raz. Jeśli są cztery mosty, A pojawia się trzy razy, jeśli ten odcinek był punktem początkowym, lub dwa razy, jeśli nie był. Ogólnie oznacza to, że jeśli podróż nie zaczyna się na odcinku A, to trzeba ją przejechać dwa razy więcej niż liczba mostów (cztery podzielone przez dwa dają dwa). Jeżeli podróż zaczyna się od odcinka A, to musi się przeciąć jeszcze raz.
Geniusz rozwiązania Eulera nie tkwi nawet w odpowiedzi, ale w metodzie, którą zastosował. Był to jeden z najwcześniejszych przypadków zastosowania teorii grafów, znanej również jako teoria sieci, bardzo poszukiwanej dziedziny matematyki w dzisiejszym świecie pełnym transportu, sieci społecznych i elektronicznych. Jeśli chodzi o Królewca, miasto zakończyło się kolejnym mostem, co wywołało kontrowersje w decyzji Eulera, a następnie siły brytyjskie zniszczyły większość miasta podczas II wojny światowej. Dziś zarówno miasto, jak i rzeka mają nowe nazwy, ale stary problem żyje w zupełnie nowej dziedzinie matematyki.
Igor Abramov