W opisywaniu zjawisk kwantowych teoria tak dalece wyprzedziła eksperyment, że nie jest możliwe rozróżnienie, gdzie kończy się fizyka, a gdzie zaczyna matematyka. Korespondent RIA Novosti rozmawiał z uczestnikami międzynarodowej szkoły naukowej działającej w Joint Institute for Nuclear Research (JINR) w Dubnej na temat tego, jaka matematyka jest potrzebna w fizyce kwantowej i jakie problemy rozwiązują przedstawiciele dwóch najbardziej rygorystycznych nauk.
Szkoła „Sumy statystyczne i formy automorficzne” przyciągnęła około osiemdziesięciu młodych naukowców i nauczycieli z całego świata, w tym Hermanna Nicolai, dyrektora Instytutu Alberta Einsteina (Niemcy).
Jego organizatorzy z Laboratorium Symetrii Lustrzanej i Form Automorficznych Wydziału Matematyki Wyższej Szkoły Ekonomicznej podkreślają, że prężnie działające w Rosji uczelnie naukowe stały się awangardą badań w wielu dziedzinach.
Sukces naszych matematyków jest ściśle powiązany z dokonaniami fizyków teoretycznych poszukujących nowych przejawów fizyki kwantowej. To jest dosłownie inny świat, którego istnienie zakłada się poza rzeczywistością Newtona i Einsteina. Aby konsekwentnie opisywać wychodzenie poza prawa fizyki klasycznej, naukowcy wymyślili teorię strun w latach 70. Twierdzi, że wszechświat można oceniać nie za pomocą cząstek punktowych, ale za pomocą strun kwantowych.
Znane każdemu uczniowi pojęcia „punkt”, „linia”, „płaszczyzna” zacierają się w świecie kwantowym, granice znikają, a ta sama teoria strun nabiera bardzo złożonej struktury wewnętrznej. Zrozumienie tak niezwykłych obiektów wymaga czegoś specjalnego. Mianowicie symetria lustrzana, którą zasugerowali fizycy strun na początku lat 90. Jest to doskonały przykład tego, jak nowe struktury matematyczne wyłaniają się z fizycznej intuicji.
W zwykłym świecie taka symetria pojawia się na przykład, gdy widzimy swoje odbicie w lustrze. W świecie kwantowym jest to niezmiernie bardziej złożony, abstrakcyjny pogląd, który wyjaśnia, w jaki sposób dwie różnie wyglądające teorie opisują jeden układ cząstek elementarnych na różnych poziomach interakcji w wielowymiarowej czasoprzestrzeni.
Program matematyczny do badania efektu odkrytego przez fizyków - hipoteza homologicznej symetrii lustrzanej - został zaproponowany w 1994 roku przez matematyka Maxima Kontsevicha. Cztery lata później zdobył Fields Prize, Nagrodę Nobla dla świata matematyki.
W Rosji do opracowania kierunku symetrii lustrzanej zaproszono amerykańską matematykę bułgarskiego pochodzenia Ludmiłę Katsarkową, absolwentkę Wydziału Mechaniki i Matematyki Moskiewskiego Uniwersytetu Łomonosowa. Jego projekt i stworzenie laboratorium w HSE pod koniec 2016 roku były wspierane przez rząd Rosji w ramach programu mega-grantów. Będąc jednym ze współautorów Kontsevicha, Katsarkov przyciągnął go do pracy.
Film promocyjny:
Od intuicji do dowodu
Większość wykładowców w szkole pracuje w tej dynamicznej dziedzinie związanej z geometrią czasoprzestrzenną oraz teoriami podwójnego pola i strun, bezpośrednio lub pośrednio pomagając rozwiązać zagadkę świata kwantowego. Jednym z głównych obiektów ich badań są bardzo duże układy zawierające nieskończoną liczbę cząstek. Aby opisać te układy w równowadze termodynamicznej, fizycy obliczają wielkości zwane funkcjami podziału.
Zwierciadlana symetria rozmaitości, chwilowe funkcje podziału Niekrasowa i inne koncepcje wprowadzone do teorii strun i kwantowej teorii pola okazały się dla matematyków zupełnie nowymi obiektami, które zaczęli z zainteresowaniem analizować. Okazało się na przykład, że wygodnie jest opisywać sumy stanu za pomocą form automorficznych - specjalnej klasy funkcji, która od dawna jest dobrze badana w teorii liczb.
Znane każdemu uczniowi pojęcia „punkt”, „linia”, „płaszczyzna” zacierają się w świecie kwantowym, granice znikają, a ta sama teoria strun nabiera bardzo złożonej struktury wewnętrznej. Zrozumienie tak niezwykłych obiektów wymaga czegoś specjalnego. Mianowicie symetria lustrzana, którą zasugerowali fizycy strun na początku lat 90. Jest to doskonały przykład tego, jak nowe struktury matematyczne wyłaniają się z fizycznej intuicji.
W zwykłym świecie taka symetria pojawia się na przykład, gdy widzimy swoje odbicie w lustrze. W świecie kwantowym jest to niezmiernie bardziej złożony, abstrakcyjny pogląd, który wyjaśnia, w jaki sposób dwie różnie wyglądające teorie opisują jeden układ cząstek elementarnych na różnych poziomach interakcji w wielowymiarowej czasoprzestrzeni.
Program matematyczny do badania efektu odkrytego przez fizyków - hipoteza homologicznej symetrii lustrzanej - został zaproponowany w 1994 roku przez matematyka Maxima Kontsevicha. Cztery lata później zdobył Fields Prize, Nagrodę Nobla dla świata matematyki.
W Rosji do opracowania kierunku symetrii lustrzanej zaproszono amerykańską matematykę bułgarskiego pochodzenia Ludmiłę Katsarkową, absolwentkę Wydziału Mechaniki i Matematyki Moskiewskiego Uniwersytetu Łomonosowa. Jego projekt i stworzenie laboratorium w HSE pod koniec 2016 roku były wspierane przez rząd Rosji w ramach programu mega-grantów. Będąc jednym ze współautorów Kontsevicha, Katsarkov przyciągnął go do pracy.
Od intuicji do dowodu
Większość wykładowców w szkole pracuje w tej dynamicznej dziedzinie związanej z geometrią czasoprzestrzenną oraz teoriami podwójnego pola i strun, bezpośrednio lub pośrednio pomagając rozwiązać zagadkę świata kwantowego. Jednym z głównych obiektów ich badań są bardzo duże układy zawierające nieskończoną liczbę cząstek. Aby opisać te układy w równowadze termodynamicznej, fizycy obliczają wielkości zwane funkcjami podziału.
Zwierciadlana symetria rozmaitości, chwilowe funkcje podziału Niekrasowa i inne koncepcje wprowadzone do teorii strun i kwantowej teorii pola okazały się dla matematyków zupełnie nowymi obiektami, które zaczęli z zainteresowaniem analizować. Okazało się na przykład, że wygodnie jest opisywać sumy stanu za pomocą form automorficznych - specjalnej klasy funkcji, która od dawna jest dobrze badana w teorii liczb.
Pomysł artysty na symetrię lustra. Ilustracja: RIA Novosti. Alina Polyanina
Istnieje wiele przykładów odwrotnego wpływu matematyki na fizykę teoretyczną.
„Pracowałem nad stworzeniem teorii dla nowej klasy funkcji specjalnych zwanych„ eliptycznymi całkami hipergeometrycznymi”. Potem okazało się, że te obiekty są pożądane przez fizyków jako suma statystyczna szczególnego typu”- mówi fizyk matematyczny Wiaczesław Spiridonow z Laboratorium Fizyki Teoretycznej JINR.
Spiridonov wprowadził swoje całki w 2000 roku, a osiem lat później dwóch fizyków z Cambridge doszło do tych samych całek, obliczając superkonformalne indeksy (lub supersymetryczne funkcje podziału) w ramach teorii dualności Seiberga.
„Indeksy superkonformalne są bardzo wygodną koncepcją opisującą dualności elektromagnetyczne, uogólniając zjawisko, które po raz pierwszy ujawniło się w równaniach Maxwella (obecność wzajemnie uzupełniających się właściwości fizycznych w jednym zjawisku - red.). Przy pomocy skonstruowanej teorii matematycznej przewidzieliśmy nowe dualizmy, których fizycy przeoczyli. Fizycy wyrażają idee, uzyskują wstępne wyniki, a matematycy budują absolutną, systematyczną analizę: podają definicje, formułują twierdzenia, dowodzą, nie dopuszczając żadnych przerw w opisie zjawiska. Ile ich jest więcej? Co przegapili fizycy? Matematycy odpowiadają na te pytania. Fizycy są zainteresowani różnorodnością obiektów klasyfikowanych przez matematyków”- mówi Spiridonov.
W poszukiwaniu kwantowej grawitacji i supersymetrii
„Chcę zrozumieć naturę grawitacji kwantowej i fizykę czarnych dziur, jeśli teoria strun jest poprawna do opisu przyrody. To moja motywacja. Aby to zrobić, musisz obliczyć wielkości fizyczne i porównać je z eksperymentem. Ale faktem jest, że są to bardzo złożone obliczenia, istnieje wiele problemów matematycznych”- mówi Pierre Vanhove z Instytutu Fizyki Teoretycznej (Saclay, Francja), członek stowarzyszony laboratorium HSE.
Fizyk, który chce zrozumieć, co wydarzyło się przed Wielkim Wybuchem, aby zbadać konfigurację czarnej dziury, jest zmuszony zająć się przestrzenią, która jest skompresowana do punktu, w wyniku czego bardzo zmienia się jej geometria. Teoria względności nie może wyjaśnić tych obiektów, a także innych nieklasycznych zjawisk - ciemnej materii, ciemnej energii. Naukowcy oceniają ich istnienie na podstawie znaków pośrednich, ale nie udało się jeszcze ustalić w eksperymencie przejawów nowej fizyki, w tym oznak kwantowej grawitacji - teorii, która łączyłaby ogólną teorię względności i mechanikę kwantową. Radziecki fizyk Matvey Bronstein powstał w połowie lat trzydziestych XX wieku.
Nawiasem mówiąc, naukowcy zarejestrowali klasyczne (z punktu widzenia teorii Einsteina) fale grawitacyjne w eksperymencie dopiero w 2015 roku. Aby to zrobić, musieli znacznie ulepszyć detektor LIGO. Aby poczuć kwantową naturę grawitacji, potrzebujesz jeszcze większej dokładności instrumentu, nieosiągalnej na obecnym poziomie rozwoju technologii.
„Obecnie pomiary LIGO nie dają dostępu do tej nowej fizyki, potrzeba czasu, aby się tam dostać. Prawdopodobnie czasochłonne. Musimy wymyślić nowe metody, narzędzia matematyczne. Wcześniej dostępne były tylko akceleratory do poszukiwania nowej fizyki, z których najpotężniejszą jest LHC, teraz otwarta jest inna droga - badanie fal grawitacyjnych”- wyjaśnia Vankhov.
Aby wyjaśnić osobliwości obserwowanego świata, na przykład naukowcy wprowadzili hipotezę supersymetrii. Według niej cząstki elementarne, które obserwujemy w eksperymentach, muszą mieć bliźniaki w „innym” obszarze naszego świata. Jednym z oczekiwanych przejawów tych bliźniaków jest to, że najjaśniejsza z nich tworzy ciemną materię, to znaczy żyje wokół nas, ale jest niedostępna do obserwacji.
„Aby zobaczyć supersymetrię, trzeba lepiej zrozumieć strukturę cząstek, a to wymaga jeszcze większej energii akceleratora. Na przykład, jeśli w zderzeniach protonów widzimy narodziny supersymetrycznych partnerów zwykłych cząstek, to to, co robimy, naprawdę istnieje. W tej chwili w CERN akcelerator zderza cząsteczki z maksymalną energią, ale supersymetria nie została jeszcze odkryta. Granica jej przejawów - energia Plancka - jest poza naszym zasięgiem”- mówi Ilmar Gahramanov, kierownik Wydziału Fizyki Matematycznej na Państwowym Uniwersytecie Sztuk Pięknych im. Mimara Sinana (Istambuł, Turcja), absolwenta MISiS.
Jednak supersymetria musi istnieć, uważa Gahramanov, ponieważ sama jej idea, matematyka, jest „bardzo piękna”.
„Formuły są uproszczone, niektóre problemy znikają, wiele zjawisk można wyjaśnić tą teorią. Chcemy wierzyć, że istnieje, ponieważ idee supersymetrii pozwalają nam uzyskać interesujące wyniki dla innych teorii, które można przetestować eksperymentalnie. Oznacza to, że metody, technologia, matematyka, która się w niej pojawia, są przenoszone na inne obszary - mówi naukowiec.
Czysta matematyka
Jedną z takich dziedzin, która rozwija się dzięki problemom sformułowanym w teorii strun, jest teoria bimbru.
„Moonshine” w języku angielskim oznacza lunatykowanie i szaleństwo”- mówi John Duncan z Emory University (USA).
Dla jasności, podczas swojego przemówienia pokazuje publiczności zdjęcie krwistoczerwonego księżyca nad Akropolem, zrobione podczas super księżyca 31 stycznia. Duncan kształcił się w Nowej Zelandii, a następnie przyjechał do Stanów Zjednoczonych, aby zdobyć doktorat. Spotkawszy się tam Igor Frenkel, były radziecki matematyk, postanowił zająć się teorią Munshine (przetłumaczoną na język rosyjski jako „teoria nonsensu”), która budowała mosty między „potworem” - największą skończoną, wyjątkową grupą symetrii - a innymi obiektami matematycznymi: formami automorficznymi, krzywymi algebraicznymi i algebry wierzchołków.
„Z teorii strun wyszły bardzo głębokie matematyczne idee, które zmieniły geometrię, teorię algebr Liego, teorię form automorficznych. Koncepcja filozoficzna zaczęła się zmieniać: czym jest przestrzeń, czym jest różnorodność. Pojawiły się nowe typy geometrii, nowe niezmienniki. Fizyka teoretyczna wzbogaca matematykę o nowe pomysły. Rozpoczynamy nad nimi prace, a następnie zwracamy je fizykom. W rzeczywistości matematyka jest teraz odbudowywana, tak jak to miało miejsce już w latach 20-30 XX wieku po rozwoju mechaniki kwantowej, kiedy stało się jasne, że istnieją inne struktury w matematyce, których wcześniej nie widziano”- mówi Valery Gritsenko, profesor na Uniwersytecie w Lille (Francja)) i BHP.
Gritsenko zajmuje się czystą matematyką, ale fizycy żądają jego wyników. Jednym z jego największych osiągnięć, uzyskanym wspólnie z matematykiem Wiaczesławem Nikulinem, jest klasyfikacja nieskończenie-wymiarowych automorficznych hiperbolicznych algebr Kaca - Moody'ego, która znalazła zastosowanie w teorii strun. Herman Nicolai poświęcił swój wykład opisowi specjalnej hiperbolicznej algebry Katsa-Moody'ego typu E10, która twierdzi, że jest unifikatorem wszystkich fizycznych symetrii przyrody.
Pomimo braku eksperymentalnych przejawów teorii strun, supersymetrii, grawitacji kwantowej, naukowcy nie tylko nie odrzucają tych koncepcji, ale wręcz przeciwnie, nadal aktywnie je rozwijają. Więc "Nie geometrem, niech nie wchodzi!" - motto Akademii Platona, sformułowane dwa i pół tysiąca lat temu, jest najbardziej aktualne w naszych czasach dla fizyki teoretycznej.
Tatiana Pichugina