Byłem krnąbrnym dzieckiem, które dorastało na literaturze i traktowało matematykę i naukę tak, jakby mogły zarazić się zarazą. Dlatego jest dość dziwne, że w rezultacie stałem się osobą, która na co dzień zajmuje się całkami potrójnymi, transformatami Fouriera i perłą matematyki, równaniem Eulera. Aż trudno uwierzyć, że z osoby z dosłownie wrodzoną fobią w stronę matematyki zmieniłem się w profesora inżynierii.
Pewnego dnia jeden z moich uczniów zapytał mnie, jak to zrobiłem: jak zmieniłem swój mózg. Chciałem odpowiedzieć: „Cholera, to było niezwykle trudne!” W końcu nie mogłem robić matematyki i przedmiotów ścisłych w podstawówce, gimnazjum i liceum. Prawdę mówiąc, zacząłem uczęszczać na lekcje matematyki dopiero po wyrzuceniu mnie z wojska, gdy miałem 26 lat. Gdyby istniał przykład potencjału elastyczności w mózgu dorosłego, stałbym się modelem nr 1.
Studiowanie matematyki i nauk ścisłych jako osoba dorosła otworzyło mi drzwi do świata wielu możliwości - inżynierii. Ciężko zdobyta w wieku dorosłym, moja zmiana w mózgu dała mi bezpośrednie spojrzenie na neuroplastyczność, która leży u podstaw uczenia się dorosłych. Na szczęście przygotowanie do pracy doktorskiej z inżynierii systemów, łączącej ogromny obraz różnych dyscyplin STEM (nauki ścisłe, technologia, inżynieria, matematyka), a następnie do dalszych badań i pracy, które skupiały się na strukturze ludzkiego myślenia, pomogły mi w realizacji tej ostatniej. odkrycia w dziedzinie neuronauki i psychologii poznawczej związane z procesem uczenia się.
Odkąd uzyskałem doktorat, przez moje ręce przeszły tysiące uczniów, uczniowie szkoły podstawowej i liceum wierzyli, że świętym talizmanem rozumienia matematyki jest aktywna dyskusja. Uważa się, że jeśli możesz wyjaśnić innym, czego się nauczyłeś, na przykład rysując obrazek, to rozumiesz.
Japonia stała się godnym podziwu i naśladowanym przykładem tych aktywnych metod uczenia się „rozumienia”. Jednak o wadach tej koncepcji nie mówi się często: Japonia stała się także kolebką metody Kumona nauczania matematyki, która opiera się na zapamiętywaniu, powtarzaniu, wkuwaniu i pracy nad opanowaniem materiału przez dziecko. Ten intensywny program pozalekcyjny (i inne podobne) został chętnie przyjęty przez rodziców w Japonii i na całym świecie, którzy uzupełniają edukację online swoich dzieci dużą ilością ćwiczeń, powtarzania i, tak, wyrafinowanego wkuwania, aby dać im swobodę opanowania przedmiotu.
W Stanach Zjednoczonych nacisk na zrozumienie czasami wypiera inną starszą metodę używaną (i używaną) przez naukowców: aby studiować matematykę i nauki ścisłe, trzeba pracować z naturalnym procesem mózgu.
Ostatnia fala reform edukacyjnych w matematyce dotyczy obowiązkowego programu nauczania: jest to próba ustanowienia mocnych, jednolitych standardów w całej Ameryce, chociaż krytycy zwracają uwagę, że standardy te nie są porównywalne z krajami osiągającymi najlepsze wyniki. Przynajmniej powierzchownie standardy zapewniają rozsądną perspektywę. Wychodzą z założenia, że w matematyce uczniowie powinni mieć równą wiedzę pojęciową, biegłość w rozwiązywaniu problemów i umiejętność ich stosowania.
Haczyk tkwi oczywiście w załatwianiu spraw. W obecnym klimacie edukacyjnym zapamiętywanie i powtarzanie w dyscyplinach STEM (w przeciwieństwie do nauki języka lub muzyki) jest często postrzegane jako poniżająca strata czasu zarówno przez uczniów, jak i nauczycieli. Wielu nauczycieli od dawna uczono, że wiedza koncepcyjna jest kluczowa w dyscyplinach STEM. Rzeczywiście, nauczycielom łatwiej jest zaangażować uczniów w dyskusję na temat matematyki (a jeśli jest to zrobione prawidłowo, rozwija lepsze zrozumienie) niż żmudna ocena pracy domowej, która została wykonana. Wynika z tego, że biegłość w umiejętnościach i umiejętność ich stosowania muszą rozwijać się w równym stopniu z wiedzą pojęciową, a to bardzo często się nie zdarza. Rozpowszechnianie wiedzy konceptualnej króluje przede wszystkim, zwłaszcza w czasach cennych klas.
Film promocyjny:
Trudność w skupieniu się na zrozumieniu polega na tym, że na lekcjach matematyki i przedmiotów ścisłych uczniowie często mogą pojąć ważny punkt, ale wiedza ta może szybko wymknąć się bez ugruntowania w praktyce i powtarzaniu. Co gorsza, uczniowie często myślą, że coś rozumieją, podczas gdy w rzeczywistości tego nie rozumieją. Podkreślając znaczenie zrozumienia, nauczyciele mogą nieświadomie popychać swoich uczniów do porażki, podczas gdy dzieci oddają się iluzji wiedzy. Jak niedawno powiedział mi jeden ze studentów inżynierii (nie zdając egzaminu): „Po prostu nie rozumiem, jak mogłem uzyskać tak zły wynik. Zrozumiałem wszystko, kiedy wyjaśniłeś na zajęciach”. Mój uczeń mógł pomyśleć, że wtedy zrozumiał temat i być może zrozumiał, ale nigdy nie wykorzystał tej wiedzy w praktyce, aby naprawdę się jej nauczyć. Nie rozwinął żadnej umiejętności podejmowania decyzji ani umiejętności zastosowania tego, co wydaje mu się, że już zrozumiał.
Istnieje interesujący związek między studiowaniem matematyki i nauk ścisłych a opanowaniem sportu. Kiedy uczysz się uderzać kijem golfowym, doskonalisz ten ruch poprzez ciągłe powtarzanie przez kilka lat. Twoje ciało wie, co zrobić, gdy tylko o tym pomyślisz (cały blok), zamiast pamiętać o wszystkich trudnych krokach potrzebnych do odbicia piłki.
W ten sam sposób, kiedy już zrozumiesz coś o matematyce i naukach ścisłych, nie musisz ciągle powtarzać sobie tego za każdym razem, gdy napotkasz jakiś temat. Nie musisz nosić ze sobą 25 kulek, ciągle układając rzędy po pięć sztuk, aby zrozumieć, że 5 × 5 = 25. W pewnym momencie po prostu znasz to na pamięć. Pamiętasz pomysł, że wystarczy dodać wykładniki (małe liczby zapisane u góry), mnożąc tę samą liczbę w różnych stopniach (104 × 105 = 109). Jeśli często wykonujesz tę procedurę, rozwiązując wiele różnych rodzajów problemów, zauważysz, że bardzo dobrze rozumiesz zarówno przyczyny, jak i działania stojące za procedurami. Zrozumienie jest rozszerzone przez fakt, że twój mózg zbudował schematy znaczeń. Ciągłe skupianie się na zrozumieniu samego siebie jest w rzeczywistości przeszkodą.
Dowiedziałem się tego wszystkiego o matematyce i procesie uczenia się nie w klasach K-12, ale z własnego doświadczenia, jako dziecko, dorastając czytając Madeleine Langle i Dostojewskiego, które studiowały język na jednej z wiodących uczelni językowych na świecie, a potem nagle zmieniłem się w profesora inżynierii.
W młodości, z talentem do języków i bez wystarczających pieniędzy i umiejętności, nie mogłem sobie pozwolić na pójście na studia (pożyczki na studia były wtedy wykluczone). Więc z liceum poszedłem prosto do wojska. Uwielbiałem uczyć się języków obcych już w liceum, a wojsko wydawało mi się miejscem, w którym ludzie zarabiali pieniądze na naukę języków obcych, nawet jeśli studiowali w prestiżowym Wojskowym Instytucie Języków Obcych, gdzie nauka języków przerodziła się w naukę. Wybrałem rosyjski, ponieważ bardzo różnił się od angielskiego, ale nie było to takie trudne, że musiałem uczyć się go wieki i mówić na poziomie czterolatka. Do tego Żelazna Kurtyna kusiła swoją tajemnicą: nagle będę mógł wykorzystać swoją znajomość języka rosyjskiego i rzucić okiem,co za tym stoi?
Po służbie w wojsku zacząłem tłumaczyć dla Rosjan, którzy pracowali na sowieckich trawlerach na Morzu Beringa. Praca dla Rosjan była zabawna i ekscytująca, a ponadto była to nieco efektowna praca dla imigrantów. W sezonie wędkarskim jeździsz nad morze, zarabiasz przyzwoite pieniądze, ciągle upijasz się po drodze, a pod koniec sezonu wracasz do portu i liczysz na wezwanie do pracy w przyszłym roku. Dla osoby, która mówiła po rosyjsku, była tylko jedna alternatywa zatrudnienia - praca w Agencji Bezpieczeństwa Narodowego (moi koledzy z wojska ciągle mi tę opcję sugerowali, ale nie dla mnie).
Zacząłem rozumieć, że znajomość języka obcego sama w sobie jest pożytecznym biznesem, ale z ograniczonym potencjałem i możliwościami. Nikt nie odciął mi telefonu, nikt nie potrzebował mojej znajomości deklinacji w języku rosyjskim. Chyba że miałem się przyzwyczaić do choroby morskiej i sporadycznego niedożywienia na cuchnących trawlerach na środku Morza Beringa. Cały czas pamiętałem inżynierów, którzy studiowali w West Point, z którymi pracowałem w wojsku. Ich matematyczne i naukowe podejście do rozwiązywania problemów było oczywiście przydatne w prawdziwym świecie, znacznie bardziej przydatne, niż pozwalały mi sobie wyobrazić moje nieszczęścia z matematyką w młodości.
Tak więc w wieku 26 lat, odchodząc z wojska i szukając nowych możliwości, zdałem sobie sprawę: jeśli naprawdę chcę spróbować czegoś nowego, dlaczego nie zacząć od czegoś, co otworzy przed mną cały świat nowych perspektyw? Coś jak inżynieria? Oznaczało to, że spróbuję nauczyć się zupełnie innego języka - języka rachunku różniczkowego.
Mając słabe zrozumienie nawet najprostszej matematyki, moje wysiłki po wojnie rozpoczęły się od przywracających lekcji algebry i trygonometrii. Było to znacznie poniżej zera dla większości studentów. Czasami próba przeprogramowania mózgu wydawała mi się absurdalnym przedsięwzięciem, zwłaszcza gdy patrzyłem na młode twarze moich młodszych kolegów z klasy i zdawałem sobie sprawę, że porzucili już swoje trudne zajęcia z matematyki i nauk przyrodniczych i postanowiłem od razu się z nimi spotkać. Ale w moim przypadku, w moim doświadczeniu opanowania języka rosyjskiego jako osoba dorosła, podejrzewałem (lub po prostu miałem nadzieję), że w aspektach nauki języka obcego będzie coś, co mógłbym wykorzystać do opanowania matematyki i przedmiotów ścisłych.
Ucząc się rosyjskiego, skupiałam się nie tylko na zrozumieniu języka, ale także na biegłości w nim. Swobodne posługiwanie się całym systemem (w tym przypadku językiem) wymaga bliskiej znajomości, której dokonuje się wyłącznie poprzez wielokrotną i zróżnicowaną interakcję z jego elementami. Tam, gdzie moi koledzy byli zadowoleni z prostego rozumienia języka rosyjskiego w mowie lub piśmie, starałem się rozwinąć wewnętrzną, głęboką więź ze słowami i strukturą tego języka. Nie zadowalało mnie samo poznanie znaczenia słowa „zrozumieć”. Używałem tego czasownika w praktyce: ciągle go odmieniałem w różnych czasach, używałem go w zdaniach i wreszcie rozumiałem nie tylko, kiedy użyć tej formy czasownika, ale także kiedy tego nie robić. Trenowałem z wyzwaniem szybkiego przypomnienia sobie wszystkich tych aspektów i odmian. Jeśli nie jesteś biegły w języku i ktoś gada do ciebie szybko, jak to bywa w normalnej rozmowie (co zawsze brzmi okropnie szybko, gdy uczysz się języka obcego), nie masz pojęcia, kim jesteś w rzeczywistości mówią, chociaż technicznie rozumiesz każde słowo z osobna i strukturę wyrażeń. Oczywiście nie możesz mówić wystarczająco szybko, aby native speakerzy mogli Cię słuchać.
Dzięki takiemu podejściu (skupiając się na płynności, a nie tylko na zrozumieniu), wyprzedziłem wszystkich w klasie. Wtedy nie zdawałem sobie z tego sprawy, ale takie podejście do nauki języków pozwoliło mi intuicyjnie zrozumieć fundamentalne podstawy uczenia się i rozwinąć kompetencje - tworzenie bloków.
Formacja blokowa została pierwotnie opracowana w rewolucyjnej pracy Herberta Simona, w której analizował szachy: bloki były postrzegane jako różne neuronowe odpowiedniki różnych schematów szachowych. Stopniowo neuronaukowcy zdali sobie sprawę, że specjaliści tacy jak arcymistrzowie szachowi osiągnęli to, przechowując w pamięci długotrwałej tysiące bloków wiedzy o ich obszarze specjalizacji. Na przykład arcymistrzowie pamiętają dziesiątki tysięcy różnych schematów szachowych. Niezależnie od dyscypliny, koneserzy mogą obudzić w swojej świadomości jedną lub kilka dobrze zespawanych, zebranych w blok podprogramów neuronowych, za pomocą których analizują i reagują na potrzebę uczenia się nowych rzeczy. Poziom prawdziwego zrozumienia, umiejętność wykorzystania go w nowych sytuacjach pojawia się tylko przy takiej jasności, poziomie wiedzy,które mogą jedynie zapewnić powtarzanie, zapamiętywanie i praktykę.
Jak wykazały badania przeprowadzone wśród szachistów, lekarzy karetek i pilotów myśliwców, w momentach największego stresu szybkie podświadome przetwarzanie zastępuje świadomą analizę sytuacji, ponieważ wszyscy ci specjaliści opracowują system podprogramów neuronowych, bloków na głębokim poziomie. W pewnym momencie świadome „zrozumienie” tego, dlaczego wykonujesz tę lub inną czynność, stanowi jedynie przeszkodę i nie prowadzi do najlepszych decyzji. Kiedy intuicyjnie zrozumiałem, że istnieje związek między nauką języka obcego a nauką matematyki, miałem rację. Codzienne długoterminowe praktyczne opanowanie języka rosyjskiego wzmocniło i wzmocniło moje połączenia nerwowe i stopniowo zacząłem łączyć ze sobą bloki wiedzy językowej, które można było teraz łatwo wykorzystać. Organizując naukę w „warstwach” (innymi słowy,praktykując w taki sposób, że nie tylko wiedziałem, kiedy użyć tego słowa, ale także kiedy go nie używać, a raczej inną jego wersję), faktycznie stosowałem to samo podejście, które przyjmują praktycy matematyki i nauk ścisłych. Studiując matematykę i inżynierię jako dorosły, zacząłem stosować tę samą strategię, co podczas nauki języka obcego. Przyjrzałem się równości, aby wziąć najbardziej elementarny przykład, drugie prawo Newtona f = ma. Trenowałem rozumienie, co oznacza każda litera: f - grawitacja - oznacza ciśnienie, m - ciężar ciała - stawiają pewien rodzaj oporu na moim nacisku, a - dodające energii uczucie przyspieszenia. (Ekwiwalentem w nauce rosyjskiego było głośne wymawianie liter rosyjskiego alfabetu). Zapamiętałem równość, żeby zapadła w pamięć,i mogłem się z nim bawić. Jeśli mi a były dużymi liczbami, jak to wpłynęło na f, kiedy podłączyłem je do wzoru? Jeśli f było duże, a a było małe, jak to wpłynęło na m? Jak elementy równości pasowały do siebie? Granie z równością było jak koniugacja czasowników. Zaczynałem intuicyjnie rozumieć, że rozmyte zarysy równości są jak wiersz przesycony metaforami, w którym ukrytych jest wiele pięknych symbolicznych obrazów. Chociaż w tamtym czasie nie nazwałbym tego tak, prawdę mówiąc, aby dobrze opanować matematykę i naukę ścisłą, musiałem powoli, dzień po dniu, budować silne neuronowe procedury „blokowe” (takie jak te, które zrobiłem ze wzorem f = ma), dzięki czemu mogę swobodnie korzystać z informacji z pamięci długotrwałej, tak jak to zrobiłem z językiem rosyjskim. Jeśli mi a były dużymi liczbami, jak to wpłynęło na f, kiedy podłączyłem je do wzoru? Jeśli f było duże, a a było małe, jak to wpłynęło na m? Jak elementy równości pasowały do siebie? Granie z równością było jak koniugacja czasowników. Zaczynałem intuicyjnie rozumieć, że rozmyte zarysy równości są jak wiersz przesycony metaforami, w którym ukrytych jest wiele pięknych symbolicznych obrazów. Chociaż wtedy nie nazwałbym tego tak, prawdę mówiąc, aby dobrze opanować matematykę i naukę ścisłą, musiałem powoli, dzień po dniu, budować silne neuronowe procedury „blokowe” (takie jak te, które zrobiłem ze wzorem f = ma), dzięki czemu mogę swobodnie korzystać z informacji z pamięci długotrwałej, tak jak to zrobiłem z językiem rosyjskim. Jeśli mi a były dużymi liczbami, jak to wpłynęło na f, kiedy podłączyłem je do wzoru? Jeśli f było duże, a a było małe, jak to wpłynęło na m? Jak elementy równości pasowały do siebie? Granie z równością było jak koniugacja czasowników. Zaczynałem intuicyjnie rozumieć, że zamazane zarysy równości są jak wiersz przesycony metaforami, w którym kryje się wiele pięknych symbolicznych obrazów. Chociaż wtedy nie nazwałbym tego tak, prawdę mówiąc, aby dobrze opanować matematykę i naukę ścisłą, musiałem powoli, dzień po dniu, budować silne neuronowe procedury „blokowe” (takie jak te, które zrobiłem ze wzorem f = ma), dzięki czemu mogę z łatwością korzystać z informacji z pamięci długotrwałej, podobnie jak w przypadku języka rosyjskiego.kiedy podstawiłem je w formule? Jeśli f było duże, a a było małe, jak to wpłynęło na m? Jak elementy równości pasowały do siebie? Granie z równością było jak koniugacja czasowników. Zaczynałem intuicyjnie rozumieć, że rozmyte zarysy równości są jak wiersz przesycony metaforami, w którym ukrytych jest wiele pięknych symbolicznych obrazów. Chociaż wtedy nie nazwałbym tego tak, prawdę mówiąc, aby dobrze opanować matematykę i naukę ścisłą, musiałem powoli, dzień po dniu, budować silne neuronowe procedury „blokowe” (takie jak te, które zrobiłem ze wzorem f = ma), dzięki czemu mogę z łatwością korzystać z informacji z pamięci długotrwałej, podobnie jak w przypadku języka rosyjskiego.kiedy podstawiłem je w formule? Jeśli f było duże, a a było małe, jak to wpłynęło na m? Jak elementy równości pasowały do siebie? Granie z równością było jak koniugacja czasowników. Zaczynałem intuicyjnie rozumieć, że rozmyte zarysy równości są jak wiersz przesycony metaforami, w którym ukrytych jest wiele pięknych symbolicznych obrazów. Chociaż w tamtym czasie nie nazwałbym tego tak, prawdę mówiąc, aby dobrze opanować matematykę i naukę ścisłą, musiałem powoli, dzień po dniu, budować silne neuronowe procedury „blokowe” (takie jak te, które zrobiłem ze wzorem f = ma), dzięki czemu mogę z łatwością korzystać z informacji z pamięci długotrwałej, podobnie jak w przypadku języka rosyjskiego.jak to wpłynęło na m? Jak elementy równości pasowały do siebie? Granie z równością było jak koniugacja czasowników. Zaczynałem intuicyjnie rozumieć, że rozmyte zarysy równości są jak wiersz przesycony metaforami, w którym ukrytych jest wiele pięknych symbolicznych obrazów. Chociaż w tamtym czasie nie nazwałbym tego tak, prawdę mówiąc, aby dobrze opanować matematykę i naukę ścisłą, musiałem powoli, dzień po dniu, budować silne neuronowe procedury „blokowe” (takie jak te, które zrobiłem ze wzorem f = ma), dzięki czemu mogę z łatwością korzystać z informacji z pamięci długotrwałej, podobnie jak w przypadku języka rosyjskiego.jak to wpłynęło na m? Jak elementy równości pasowały do siebie? Granie z równością było jak koniugacja czasowników. Zaczynałem intuicyjnie rozumieć, że rozmyte zarysy równości są jak wiersz przesycony metaforami, w którym ukrytych jest wiele pięknych symbolicznych obrazów. Chociaż w tamtym czasie nie nazwałbym tego tak, prawdę mówiąc, aby dobrze opanować matematykę i naukę ścisłą, musiałem powoli, dzień po dniu, budować silne neuronowe procedury „blokowe” (takie jak te, które zrobiłem ze wzorem f = ma), dzięki czemu mogę swobodnie korzystać z informacji z pamięci długotrwałej, tak jak to zrobiłem z językiem rosyjskim.w którym ukrytych jest wiele pięknych symbolicznych obrazów. Chociaż wtedy nie nazwałbym tego tak, prawdę mówiąc, aby dobrze opanować matematykę i naukę ścisłą, musiałem powoli, dzień po dniu, budować silne neuronowe procedury „blokowe” (takie jak te, które zrobiłem ze wzorem f = ma), dzięki czemu mogę z łatwością korzystać z informacji z pamięci długotrwałej, podobnie jak w przypadku języka rosyjskiego.który zawiera wiele pięknych symbolicznych obrazów. Chociaż wtedy nie nazwałbym tego tak, prawdę mówiąc, aby dobrze opanować matematykę i naukę ścisłą, musiałem powoli, dzień po dniu, budować silne neuronowe procedury „blokowe” (takie jak te, które zrobiłem ze wzorem f = ma), dzięki czemu mogę swobodnie korzystać z informacji z pamięci długotrwałej, tak jak to zrobiłem z językiem rosyjskim.tak jak ja z językiem rosyjskim.tak jak ja z językiem rosyjskim.
Czasami nauczyciele matematyki i nauk ścisłych mówili mi, że fundamentem ich sukcesu jest budowanie informacji, które są głęboko osadzone w umyśle. Zrozumienie nie zapewnia biegłości w wiedzy; wręcz przeciwnie, płynność buduje zrozumienie. W rzeczywistości uważam, że prawdziwe zrozumienie złożonego tematu powstaje tylko w warunkach swobodnego opanowania go.
Innymi słowy, w nauczaniu nauk przyrodniczych i matematyki łatwo jest przestawić się na metody nauczania, w których nacisk kładzie się na rozumienie, a unika się rutynowych powtórzeń i ćwiczeń, które są podstawą biegłości w temacie. Nauczyłem się rosyjskiego nie tylko dlatego, że go rozumiałem - w końcu rozumienie nie jest takim trudnym zadaniem, ale łatwo może ci się wymknąć. (Co oznacza rosyjskie słowo „rozumieć”?) Uczyłem się rosyjskiego, dążąc do płynności poprzez ćwiczenia, powtarzanie i wkuwanie, tylko taki rodzaj wkuwania, który stymulował zdolność myślenia elastycznego i szybkiego. Uczyłem się matematyki i nauk ścisłych, używając dokładnie tych samych zasad. Język, matematyka, nauki przyrodnicze, podobnie jak prawie wszystkie dziedziny ludzkiej wiedzy, wykorzystują te same mechanizmy mózgu.
Kiedy wkroczyłem w nowe życie, zostając inżynierem elektrykiem, a następnie profesorem inżynierii, porzuciłem język rosyjski w przeszłości. Ale 25 lat od ostatniego razu, kiedy piłem na sowieckim trawlerze, zdecydowaliśmy się wraz z rodziną przejechać całą Rosję koleją transsyberyjską. Pomimo tego, że nie mogłem się doczekać tej podróży, o której od dawna marzyłem, martwiłem się. Przez te wszystkie lata prawie nie wypowiedziałem choćby słowa po rosyjsku. A jeśli zupełnie o nim zapomniałem? Co dały mi te wszystkie lata doskonalenia płynnej znajomości języka?
Oczywiście, kiedy pierwszy raz wsiedliśmy do pociągu, mówiłam po rosyjsku jak dwuletnie dziecko. Gorączkowo szukałem słów, popełniłem błąd w deklinacji i koniugacji, moja dawna prawie doskonała wymowa zamieniła się w okropny akcent. Ale fundamenty zostały położone iz dnia na dzień mój rosyjski stawał się coraz lepszy. Ale nawet na podstawowym poziomie radziłem sobie z codziennymi zadaniami podczas naszej podróży. Wkrótce przewodnicy zaczęli się do mnie zbliżać, abym mógł pomóc przetłumaczyć je innym pasażerom. W końcu dotarliśmy do Moskwy i wsiedliśmy do taksówki. Kierowca, jak szybko się zorientowałem, zamierzał nas okraść jak lepki człowiek - zawiózł nas dokładnie w przeciwnym kierunku, przez korki, spodziewając się, że obcokrajowcy, którzy nic nie rozumieją, milcząco zapłacą za dodatkową godzinę według stawki. Nagle uciekły mi rosyjskie słowa,o którym nie mówiłem od dziesięcioleci. Nawet nie zdawałem sobie sprawy, że je znam.
Gdzieś głęboko w mojej głowie moja biegłość językowa pozostała i wyszła w odpowiednim momencie: szybko wyciągnęła nas z kłopotów (i pomogła znaleźć inną taksówkę). Płynność pozwala zrozumieniu stać się częścią świadomości i pojawia się, kiedy tego potrzebujesz.
Kiedy dziś widzę, jak bardzo brakuje w naszym kraju specjalistów z zakresu nauk przyrodniczych i matematyki, obserwuję współczesne trendy w pedagogice, zastanawiając się własną drogą, nad zdobytą wiedzą o możliwościach naszego mózgu, rozumiem, że moglibyśmy osiągnąć znacznie więcej. Jako rodzice i nauczyciele możemy użyć prostych, dostępnych metod, aby pogłębić nasze zrozumienie, czyniąc je użytecznymi i elastycznymi. Możemy zmusić innych ludzi i siebie do studiowania nowych dyscyplin, które wydawały się nam zbyt trudne - matematyki, tańca, fizyki, języka, chemii, muzyki - otwierając w ten sposób zupełnie nowe światy dla siebie i innych.
Jak sam zrozumiałem, podstawą wszystkiego jest fundamentalna, głęboko zakorzeniona wolna wiedza z matematyki (a nie tylko „rozumienie”). Otwiera drzwi do wielu ciekawych specjałów. Patrząc wstecz, rozumiem, że nie powinienem ślepo podążać za swoimi skłonnościami i zainteresowaniami. Część mnie, która „swobodnie” kochała literaturę i języki, była tą samą, która sprawiła, że pokochałem matematykę i naukę ścisłą, w rezultacie zmieniła i wzbogaciła moje życie.