Kolejna partia paradoksów i eksperymentów myślowych
Przeczytanie tego zbioru zajmie znacznie mniej czasu niż refleksja nad przedstawionymi w nim paradoksami. Niektóre problemy są sprzeczne tylko na pierwszy rzut oka, inne, nawet po setkach lat intensywnej umysłowej pracy nad nimi największych matematyków, filozofów i ekonomistów, wydają się nierozwiązywalne. Kto wie, może to Ty będziesz w stanie sformułować rozwiązanie jednego z tych problemów, które stanie się, jak to mówią, podręcznikiem i znajdzie się we wszystkich podręcznikach.
1. Paradoks wartości
Zjawisko, znane również jako paradoks diamentu i wody lub paradoksu Smitha (nazwane na cześć Adama Smitha, klasycznego ekonomisty, którego uważa się za pierwszego, który sformułował ten paradoks) polega na tym, że chociaż woda jako zasób jest znacznie bardziej użyteczna niż kawałki kryształu węgiel, który nazywamy diamentami, cena tego ostatniego na rynku międzynarodowym jest nieporównywalnie wyższa od ceny wody.
Adam Smith
Z punktu widzenia przetrwania ludzkość naprawdę potrzebuje wody znacznie bardziej niż diamenty, ale jej rezerwy są oczywiście większe niż diamentów, więc eksperci twierdzą, że nie ma nic dziwnego w różnicy cen - w końcu mówimy o koszcie jednostkowym każdego zasobu i jest to w dużej mierze zdeterminowane czynnik taki jak użyteczność krańcowa.
Wraz z ciągłym zużywaniem się zasobu, jego krańcową użytecznością, a co za tym idzie, jego wartością nieuchronnie spada - wzorzec ten odkrył w XIX wieku pruski ekonomista Hermann Heinrich Gossen. Mówiąc prościej, jeśli dana osoba będzie konsekwentnie otrzymywać trzy szklanki wody, wypije pierwszą, umyje wodę z drugiej, a trzecią pójdzie na podłogę.
Film promocyjny:
Większość ludzkości nie odczuwa tak ostrego zapotrzebowania na wodę - żeby się jej wystarczyło wystarczy odkręcić kran, ale nie każdy ma diamenty, dlatego są tak drogie.
2. Paradoks zamordowanego dziadka
Ten paradoks został zasugerowany w 1943 roku przez francuskiego pisarza science fiction Rene Barzhavela w książce The Careless Traveler (oryginał Le Voyageur Imprudent).
Rene Barzhavel
Przypuśćmy, że udało ci się wynaleźć wehikuł czasu i udałeś się na niej w przeszłość. Co się stanie, jeśli spotkasz tam swojego dziadka i zabijesz go, zanim poznał twoją babcię? Prawdopodobnie nie każdemu ten krwiożerczy scenariusz przypadnie do gustu, więc powiedzmy, że uniemożliwiasz spotkanie w inny sposób, np. Zabierasz go na drugi koniec świata, gdzie nigdy się nie dowie o jego istnieniu, paradoks z tego nie znika.
Jeśli do spotkania nie dojdzie, twoja matka lub ojciec się nie urodzi, nie będą w stanie cię począć, a ty odpowiednio nie wymyślisz wehikułu czasu i nie cofniesz się w czasie, więc dziadek będzie mógł swobodnie poślubić babcię, będą mieli jednego z twoich rodziców i tak dalej. - paradoks jest oczywisty.
Historia dziadka zabitego w przeszłości jest często cytowana przez naukowców jako dowód na fundamentalną niemożność podróżowania w czasie, ale niektórzy eksperci twierdzą, że w pewnych warunkach paradoks można rozwiązać. Na przykład, zabijając swojego dziadka, podróżnik w czasie stworzy alternatywną wersję rzeczywistości, w której nigdy się nie narodzi.
Ponadto wielu sugeruje, że nawet wpadając w przeszłość, dana osoba nie będzie w stanie na nią wpłynąć, ponieważ doprowadzi to do zmiany w przyszłości, której jest częścią. Na przykład próba zamordowania dziadka jest celowo skazana na niepowodzenie - w końcu, jeśli wnuk istnieje, to jego dziadek w taki czy inny sposób przeżył zamach.
3. Statek Tezeusza
Nazwę paradoksu nadał jeden z greckich mitów opisujących czyny legendarnego Tezeusza, jednego z ateńskich królów. Według legendy Ateńczycy przez kilkaset lat trzymali statek, na którym Tezeusz wrócił do Aten z Krety. Oczywiście statek stopniowo się pogarszał, a stolarze wymieniali zgniłe deski na nowe, w wyniku czego nie pozostał w nim ani kawałek starego drewna. Najlepsze umysły na świecie, w tym wybitni filozofowie, tacy jak Thomas Hobbes i John Locke, od wieków zastanawiali się, czy teus mógł być uważany za znajdującego się na tym statku.
Zatem istota paradoksu jest następująca: czy jeśli zastąpisz wszystkie części obiektu nowymi, może to być ten sam przedmiot? Ponadto pojawia się pytanie - jeśli złożysz dokładnie ten sam przedmiot ze starych części, która z dwóch będzie „taka sama”? Przedstawiciele różnych szkół filozoficznych udzielili wprost przeciwnych odpowiedzi na te pytania, ale nadal istnieją pewne sprzeczności w możliwych rozwiązaniach paradoksu Tezeusza.
Nawiasem mówiąc, jeśli weźmiemy pod uwagę, że komórki naszego ciała są prawie całkowicie odnawiane co siedem lat, czy możemy założyć, że w lustrze widzimy tę samą osobę, co siedem lat temu?
4. Paradoks Galileusza
Zjawisko odkryte przez Galileo Galilei pokazuje sprzeczne właściwości nieskończonych zbiorów. Krótkie sformułowanie paradoksu jest następujące: jest tyle liczb naturalnych, ile jest kwadratów, to znaczy liczba elementów nieskończonego zbioru 1, 2, 3, 4 … jest równa liczbie elementów nieskończonego zbioru 1, 4, 9, 16 …
Na pierwszy rzut oka nie ma tu sprzeczności, ale ten sam Galileusz w swojej pracy „Dwie nauki” zapewnia: niektóre liczby są dokładnymi kwadratami (to znaczy można z nich wydobyć cały pierwiastek kwadratowy), podczas gdy inne nie są dokładnymi kwadratami razem ze zwykłymi liczbami musi być więcej niż jeden dokładny kwadrat. Tymczasem we wcześniejszej części „Nauki” pojawia się postulat, że kwadratów liczb naturalnych jest tyle, ile samych liczb naturalnych, a te dwa zdania są do siebie wprost przeciwne.
Sam Galileusz uważał, że paradoks można rozwiązać tylko w odniesieniu do zbiorów skończonych, ale Georg Cantor, jeden z niemieckich matematyków XIX wieku, opracował swoją teorię zbiorów, zgodnie z którą drugi postulat Galileusza (mniej więcej tyle samo elementów) odnosi się również do zbiorów nieskończonych. W tym celu Cantor wprowadził pojęcie liczności, które zbiegło się w obliczeniach dla obu nieskończonych zbiorów.
5. Paradoks oszczędności
Najbardziej znanym sformułowaniem ciekawego zjawiska gospodarczego opisanego przez Waddilla Ketchingsa i Williama Fostera jest: „Im więcej zaoszczędzimy na deszczowy dzień, tym szybciej nadejdzie”. Aby zrozumieć istotę sprzeczności zawartej w tym zjawisku, trochę teorii ekonomii.
William Foster
Jeśli w okresie spowolnienia gospodarczego duża część populacji zacznie oszczędzać swoje oszczędności, zagregowany popyt na towary spada, co z kolei prowadzi do spadku zarobków, aw konsekwencji do spadku ogólnego poziomu oszczędności i zmniejszenia oszczędności. Mówiąc najprościej, istnieje swego rodzaju błędne koło, w którym konsumenci wydają mniej pieniędzy, ale tym samym pogarszają swoje samopoczucie.
Pod pewnymi względami paradoks oszczędności jest podobny do problemu z teorii gier zwanego dylematem więźnia: działania, które są korzystne dla każdego uczestnika danej sytuacji z osobna, są szkodliwe dla całości.
6. Paradoks Pinokia
Jest to podzbiór problemu filozoficznego zwanego paradoksem kłamcy. Ten paradoks jest prosty w formie, ale bynajmniej nie w treści. Można to wyrazić w trzech słowach: „To stwierdzenie jest kłamstwem” lub nawet w dwóch słowach - „Kłamie”. W wersji z Pinokiem problem jest sformułowany następująco: „Mój nos teraz rośnie”.
Myślę, że rozumiesz sprzeczność zawartą w tym stwierdzeniu, ale na wszelki wypadek pomińmy wszystko: jeśli zdanie jest poprawne, to nos naprawdę rośnie, ale to oznacza, że w tej chwili pomysł papieża Carlo kłamie, czego nie może, więc ponieważ już dowiedzieliśmy się, że stwierdzenie jest prawdziwe. To znaczy, że nos nie powinien rosnąć, ale jeśli to nie odpowiada rzeczywistości, to stwierdzenie jest nadal prawdziwe, a to z kolei wskazuje, że Pinokio kłamie … I tak dalej - łańcuch wzajemnie wykluczających się przyczyn i skutków może trwać w nieskończoność.
Paradoks kłamcy ukazuje sprzeczność między stwierdzeniem w mowie potocznej a logiką formalną. Z punktu widzenia logiki klasycznej problem jest nierozwiązywalny, więc stwierdzenie „kłamię” wcale nie jest logiczne.
7. Paradoks Russella
Paradoks, który jego odkrywca, słynny brytyjski filozof i matematyk Bertrand Russell, nie nazwał nic innego jak paradoks fryzjera, ściśle mówiąc, można uznać za jedną z form paradoksu kłamcy.
Załóżmy, że przechodząc obok fryzjera, widzisz na nim reklamę: „Czy się golisz? Jeśli nie, możesz się ogolić! Golę każdego, kto się nie goli, i nikogo innego!” Naturalne jest pytanie: jak fryzjer radzi sobie z własnym zarostem, skoro goli tylko tych, którzy nie golą się samodzielnie? Jeśli on sam nie goli własnej brody, przeczy to jego chełpliwemu stwierdzeniu: „Golę wszystkich, którzy się nie golą”.
Oczywiście najłatwiej jest założyć, że fryzjer o wąskim umyśle po prostu nie pomyślał o sprzeczności zawartej w jego szyldie i zapomniał o tym problemie, ale próba zrozumienia jego istoty jest znacznie bardziej interesująca, choć będzie wymagała krótkiego zanurzenia się w matematycznej teorii mnogości.
Paradoks Russella wygląda następująco: „Niech K będzie zbiorem wszystkich zbiorów, które nie zawierają siebie jako właściwego elementu. Czy K zawiera siebie jako swój własny element? Jeśli tak, to obala stwierdzenie, że zbiory w swoim składzie „nie zawierają siebie jako elementu właściwego”, jeśli nie, to jest sprzeczność z faktem, że K jest zbiorem wszystkich zbiorów, które nie zawierają siebie jako elementu właściwego, a zatem K musi zawierać wszystkie możliwe elementy, łącznie z tobą."
Problem wynika z faktu, że Russell w swoim rozumowaniu użył pojęcia „zbioru wszystkich zbiorów”, które samo w sobie jest raczej sprzeczne i kierował się prawami logiki klasycznej, które nie mają zastosowania we wszystkich przypadkach (patrz akapit szósty).
Odkrycie paradoksu fryzjera wywołało gorące dyskusje w różnych kręgach naukowych, które nie ustały do dziś. Aby „ocalić” teorię mnogości, matematycy opracowali kilka systemów aksjomatów, ale nie ma dowodów na ich spójność i zdaniem niektórych naukowców nie może istnieć.
8. Paradoks urodzin
Sedno problemu polega na tym, że jeśli jest grupa 23 lub więcej osób, prawdopodobieństwo, że dwie z nich mają te same urodziny (dzień i miesiąc) jest większe niż 50%. Dla grup od 60 osób szansa wynosi ponad 99%, ale sięga 100% tylko wtedy, gdy w grupie jest co najmniej 367 osób (biorąc pod uwagę lata przestępne). Świadczy o tym zasada Dirichleta, nazwana na cześć jej odkrywcy, niemieckiego matematyka Petera Gustava Dirichleta.
Peter Gustav Dirichl
Ściśle mówiąc, z naukowego punktu widzenia stwierdzenie to nie jest sprzeczne z logiką, a zatem nie jest paradoksem, ale doskonale pokazuje różnicę między wynikami podejścia intuicyjnego a obliczeniami matematycznymi, bo na pierwszy rzut oka, jak na tak małą grupę, prawdopodobieństwo przypadku wydaje się mocno przeszacowane.
Jeśli rozpatrzymy każdego członka grupy indywidualnie, szacując prawdopodobieństwo, że jego urodziny będą zbieżne z kimś innym, to dla każdej osoby szansa wynosi około 0,27%, więc całkowite prawdopodobieństwo dla wszystkich członków grupy powinno wynosić około 6,3% (23 / 365). Jest to jednak z gruntu błędne, ponieważ liczba możliwych opcji wyboru określonych par po 23 osoby jest znacznie większa niż liczba jej członków i wynosi (23 * 22) / 2 = 253, na podstawie wzoru na obliczenie tzw. Liczby kombinacji z danego zbioru. Nie będziemy zagłębiać się w kombinatorykę, poprawność tych obliczeń możesz sprawdzić w wolnym czasie.
Dla 253 wariantów par szansa, że miesiąc i data urodzenia uczestników jednej z nich będzie taka sama, jak się zapewne domyślasz, wynosi znacznie ponad 6,3%.
9. Problem kurczaka i jajek
Z pewnością każdemu z Was przynajmniej raz w życiu zadano pytanie: "Co pojawiło się pierwsze - kura czy jajko?" Doświadczeni w zoologii znają odpowiedź: ptaki rodziły się z jaj na długo przed pojawieniem się wśród nich rzędu kurczaków. Warto zaznaczyć, że w klasycznym ujęciu chodzi tylko o ptaka i jajo, ale pozwala też na łatwe rozwiązanie: w końcu np. Dinozaury pojawiły się przed ptakami, a także rozmnażały się składając jaja.
Jeśli weźmiemy pod uwagę wszystkie te subtelności, możemy sformułować problem następująco: to, co pojawiło się wcześniej - pierwsze zwierzę, które składa jaja, lub własne jajo, bo skądś musiał wykluć się przedstawiciel nowego gatunku.
Głównym problemem jest ustalenie związku przyczynowego między zjawiskami rozmytej objętości. Aby lepiej to zrozumieć, zapoznaj się z Zasadami logiki rozmytej - uogólnieniami logiki klasycznej i teorii mnogości.
Mówiąc najprościej, faktem jest, że zwierzęta w toku ewolucji przeszły niezliczone pośrednie etapy - dotyczy to również metod hodowli. Na różnych etapach ewolucji złożyli różne przedmioty, których nie można jednoznacznie zidentyfikować jako jaja, ale mają z nimi pewne podobieństwa.
Prawdopodobnie nie ma obiektywnego rozwiązania tego problemu, chociaż na przykład brytyjski filozof Herbert Spencer zaproponował taką opcję: „Kura to tylko sposób, w jaki jedno jajko produkuje drugie”.
10. Znikanie komórek
W przeciwieństwie do większości innych paradoksów z tej kolekcji, ten zabawny „problem” nie zawiera sprzeczności, służy raczej ćwiczeniu obserwacji i przypomina o podstawowych prawach geometrii.
Jeśli znasz takie zadania, możesz pominąć oglądanie wideo - zawiera jego rozwiązanie. Sugerujemy wszystkim innym, aby nie wspinali się, jak mówią, „do końca podręcznika”, ale pomyśleli: obszary wielokolorowych figurek są absolutnie równe, ale po ich przestawieniu jedna z komórek „znika” (lub staje się „niepotrzebna” - w zależności od wariantu położenia figur) uważane za początkowe). Jak to może być?
Wskazówka: początkowo w problemie jest mała sztuczka, która zapewnia jego „paradoksalność”, a jeśli uda się ją znaleźć, wszystko od razu się ułoży, choć komórka nadal „zniknie”.